Question

13．已知函數f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的奇函數，其圖象關于點M（$\frac{3π}{4}$，0）對稱，且在區(qū)間[0，$\frac{π}{3}$]上是單調函數，求函數y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由f（x）=cos（ωx+φ）=-sin（ωx+φ-$\frac{π}{2}$）是R上的奇函數，求得φ=$\frac{π}{2}$．由圖象關于M（$\frac{3π}{4}$，0）對稱，可得sin$\frac{3πω}{4}$=0，求得ω=$\frac{4k}{3}$，k∈z．再根據f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上是單調函數，可得$\frac{π}{3}$≤$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2ω}$，從而求得ω和φ的值，即可得解函數解析式．

解答 解：∵f（x）=cos（ωx+φ）=sin（$\frac{π}{2}$-ωx-φ）=-sin（ωx+φ-$\frac{π}{2}$）是R上的奇函數，
∴f（0）=sin（φ-$\frac{π}{2}$）=0，
∵0≤φ≤π，
∴φ=$\frac{π}{2}$．f（x）=-sinωx，
又∵圖象關于M（$\frac{3π}{4}$，0）對稱，
∴sin$\frac{3πω}{4}$=0，
∴$\frac{3πω}{4}$=kπ，k∈Z，
∴ω=$\frac{4k}{3}$，k∈Z．①
又∵f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上是單調函數，
∴$\frac{π}{3}$≤$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2ω}$，
∴0＜ω≤$\frac{3}{2}$，②
∴ω=$\frac{4}{3}$，
∴f（x）=-sin$\frac{4}{3}$x．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象和性質，余弦函數的單調性，函數定義域的求法，屬于基本知識的考查．