Question

5．已知θ∈（$\frac{π}{2}$，π），sinθ+cosθ=-$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，則tan（θ-$\frac{π}{4}$）的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． -2

Answer 1

分析 由條件求得tan（θ-$\frac{π}{4}$）＜-1，利用同角三角函數(shù)的基本關系求得sin2θ=cos（$\frac{π}{2}$-2θ）的值，再利用二倍角的余弦公式求得tan（θ-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵θ∈（$\frac{π}{2}$，π），sinθ+cosθ=-$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，∴θ∈（$\frac{3π}{4}$，π），∴θ-$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），tan（θ-$\frac{π}{4}$）＜-1．
故1+2sinθcosθ=$\frac{2}{5}$，∴sin2θ=cos（$\frac{π}{2}$-2θ）=$\frac{{cos}^{2}（\frac{π}{4}-θ）{-sin}^{2}（\frac{π}{4}-θ）}{{cos}^{2}（\frac{π}{4}-θ）{+sin}^{2}（\frac{π}{4}-θ）}$=$\frac{1{-tan}^{2}（\frac{π}{4}-θ）}{1{+tan}^{2}（\frac{π}{4}-θ）}$=-$\frac{3}{5}$，
求得tan（θ-$\frac{π}{4}$）=±2，故tan（θ-$\frac{π}{4}$）=-2，
故選：D．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角的余弦公式的應用，屬于基礎題．