Question

已知函數(shù)f（x）=ln|x|（x≠0），函數(shù)g（x）=

1

f′(x)

+af′（x）（x≠0）
（1）當(dāng)x≠0時(shí)，求函數(shù)y=g（x）的表達(dá)式；
（2）若a＞0，函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對x的取值分類討論，化簡絕對值，求出f′（x）得到x＞0和x＜0導(dǎo)函數(shù)相等，代入到g（x）中得到即可．
（2）根據(jù)基本不等式得到g（x）的最小值即可求出a．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln|x|，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ln（-x），
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)=

1

x

，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)=

1

-x

•(-1)=

1

x

，
∴當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)g（x）=

1

f′(x)

+af′（x）=x+

a

x

．
（2）∵由（1）知當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=x+

x

a

，
∴當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，g（x）≥2

a

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

a

時(shí)取等號 
∴函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2

a

．
∴依題意得2

a

=2，∴a=1．

點(diǎn)評：考查學(xué)生導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的能力，理解函數(shù)最值及幾何意義的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．