Question

13．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為CD的中點，求證：平面AC₁E⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析 根據(jù)BD⊥AC，BD⊥CC₁得出BD⊥平面ACC₁，從而BD⊥AC₁，同理得出A₁B⊥AC₁，于是AC₁⊥平面A₁BD，從而得出結(jié)論．

解答 證明：連接AC，
∵CC₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥CC₁，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又AC?平面ACC₁，CC₁?平面ACC₁，AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁，又AC₁?平面ACC₁，
∴BD⊥AC₁，
同理可得：A₁B⊥AC₁，
又A₁B?平面A₁BD，BD?平面A₁BD，A₁B∩BD=B，
∴AC₁⊥平面A₁BD，又AC₁?平面AC₁E，
∴平面AC₁E⊥平面A₁BD．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．