Question

4．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知A=$\frac{π}{4}$，a=$\sqrt{3}$．
（1）若sinB=$\frac{3}{5}$，求邊c的長(zhǎng)；
（2）若|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{6}$，求$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得b=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{4}}$$•\frac{3}{5}$=$\frac{3\sqrt{6}}{5}$由余弦定理可得3=c²+$\frac{54}{25}$-2•$\frac{3\sqrt{6}}{5}$c•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求出c；
（2）由余弦定理可得$\left\{\begin{array}{l}{3=^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}bc}\\{（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}=^{2}+\frac{{c}^{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}bc}\end{array}\right.$，求出b，即可求$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值．

解答 解：（1）由正弦定理可得b=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{4}}$$•\frac{3}{5}$=$\frac{3\sqrt{6}}{5}$
由余弦定理可得3=c²+$\frac{54}{25}$-2•$\frac{3\sqrt{6}}{5}$c•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c²-$\frac{6\sqrt{3}}{5}$c-$\frac{21}{25}$=0，
∴c=$\frac{7\sqrt{3}}{5}$；
（2）由余弦定理可得$\left\{\begin{array}{l}{3=^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}bc}\\{（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}=^{2}+\frac{{c}^{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}bc}\end{array}\right.$，∴b=$\sqrt{3}$，
∵|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{6}$，
∴3+3+2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=6，
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．