Question

16．如果指數(shù)函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）在x∈[0，1]上的最大值與最小值的和為$\frac{5}{2}$，則實數(shù)a=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由已知中指數(shù)函數(shù)y=a^x在[0，1]上的最大值與最小值的和為$\frac{5}{2}$，根據(jù)指數(shù)函數(shù)一定為單調(diào)函數(shù)，則最大值與最小值的和一定等于a+1，由此構(gòu)造方程，解方程即可得到答案．

解答 解：若a＞1，則指數(shù)函數(shù)y=a^x在[0，1]上單調(diào)遞增；
則指數(shù)函數(shù)y=a^x在[0，1]上的最小值與最大值分別為1和a，
又∵指數(shù)函數(shù)y=a^x在[0，1]上的最大值與最小值的和為$\frac{5}{2}$，
則a+1=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{3}{2}$；
若0＜a＜1，則指數(shù)函數(shù)y=a^x在[0，1]上單調(diào)遞減；
則指數(shù)函數(shù)y=a^x在[0，1]上的最大值與最小值分別為1和a，
又∵指數(shù)函數(shù)y=a^x在[0，1]上的最大值與最小值的和為$\frac{5}{2}$，
則a+1=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{3}{2}$（舍去）．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)指數(shù)函數(shù)一定為單調(diào)函數(shù)，則最大值與最小值的和一定等于a+1，并構(gòu)造出關(guān)于a的方程，是解答本題的關(guān)鍵．