Question

15．已知函數(shù)f（x）=px-$\frac{p}{x}$-2lnx，其中p∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在（1，0）點(diǎn)的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=$\frac{2e}{x}$，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一個(gè)x的值使f（x）＞g（x）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)求導(dǎo)公式求出f′（x），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式方程求出切線方程并化為一般式方程；
（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系將條件轉(zhuǎn)化為：f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再分離常數(shù)p，利用基本不等式求出p的范圍；
（Ⅲ）將條件轉(zhuǎn)化為：不等式f（x）-g（x）＞0 在[1，e]上有解，再構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），求出F′（x）化簡(jiǎn)后利用已知條件判斷出符號(hào)，得到F（x）的單調(diào)性，求出F（x）在[1，e]的最大值，即可求出實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，f′（x）=p+$\frac{p}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$=$\frac{p{x}^{2}-2x+p}{{x}^{2}}$，
∴在（1，0）點(diǎn)的切線d斜率k=2p-2，
∴在（1，0）點(diǎn)的切線方程是：y=（2p-2）（x-1）…（4分）
（Ⅱ）由（I）得f′（x）=$\frac{p{x}^{2}-2x+p}{{x}^{2}}$，且定義域是（0，+∞），
∵f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，則f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴px²-2x+p≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴$p≥\frac{2x}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上恒成立即可，
∵$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{1}{x}$，即x=1時(shí)取等號(hào)，∴p≥1，
∴實(shí)數(shù)p的取值范圍是[1，+∞） …（9分）
（Ⅲ）在[1，e]上至少存在一個(gè)x的值使f（x）＞g（x）成立，
等價(jià)于不等式f（x）-g（x）＞0 在[1，e]上有解，
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=px-$\frac{p}{x}$-2lnx-$\frac{2e}{x}$，
∵p＞0，x∈[1，e]，
∴F′（x）=p+$\frac{p}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$+$\frac{2e}{{x}^{2}}$=$\frac{p{x}^{2}-2x+p+2e}{{x}^{2}}$＞0，
∴F（x）在[1，e]上的增函數(shù)，F(xiàn)（x）的最大值是F（e）=$pe-\frac{p}{e}-4$，
依題意需$pe-\frac{p}{e}-4$＞0，解得p＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
∴實(shí)數(shù)p的取值范圍是（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞） …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查構(gòu)造函數(shù)法，分離常數(shù)法，轉(zhuǎn)化思想，以及化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，屬于中檔題．