Question

11．一個(gè)多邊形的直觀圖和三視圖如圖所示（其中EMF分別是PB，AD的中心）
（1）求證：EF⊥平面PBC；
（2）求三棱錐B-AEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，邊長為a，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=a，取PC中點(diǎn)G，連接EG、GD，可證四邊形FEGD為矩形，得到EG⊥DG，再由已知得到DG⊥PC，由線面垂直的判斷得到DG⊥平面PBC，進(jìn)一步證得答案；
（2）把三棱錐B-AEF的體積轉(zhuǎn)化為E-ABF的體積得答案．

解答 （1）證明：如圖，
取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，GD，則
EG∥BC，EG∥DF，EG=$\frac{1}{2}BC$，EG=$\frac{1}{2}DF$，
由三視圖知FD⊥平面PDC，DG?面PDC，∴FD⊥DG，
∴四邊形FEGD為矩形，
∵G為等腰Rt△PDC斜邊PC的中點(diǎn)，
∴DG⊥PC，
又DG⊥GE，PC∩EG=G，
∴DG⊥平面PBC．
∵DG∥EF，∴EF⊥平面PBC；
（2）解：由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，邊長為a，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=a，
又F為AD的中點(diǎn)，∴${S}_{△ABF}=\frac{1}{4}{a}^{2}$，
E為PB中點(diǎn)，則OE=$\frac{1}{2}PD=\frac{1}{2}a$，
∴V_B-AEF=V_E-ABF=$\frac{1}{3}$S_△ABF•OE=$\frac{1}{3}•\frac{1}{4}{a}^{2}•\frac{1}{2}a=\frac{1}{24}{a}^{3}$．

點(diǎn)評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．