Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)x=0處的切線(xiàn)為l：4x+y-5=0，若x=-2時(shí)，y=f（x）有極值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b，c的不等式組，解出即可；（2）先求出函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最值．

解答 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，
得：f′（x）=3x²+2ax+b，
當(dāng)x=0時(shí)，切線(xiàn)l的斜率為-4，可得b=-4①，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=f（x）有極值，得f′（-2）=0，
∴12-4a+b=0②，
由①②得：a=2，b=-4，
由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=0，
∴f（0）=5，∴c=5，
∴a=2，b=-4，c=5．
（2）由（1）得f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f′（x）=3x²+4x-4，
令f′（x）=0，解得：x=-2或x=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的值及變化如下表：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，1）	1
y′		+	0	-	0	+
y	8	遞增	13	遞減	$\frac{95}{27}$	遞增	4

∴y=f（x）在[-3，1]上的最大值為13，最小值為$\frac{95}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．