Question

17．直線$\sqrt{2}$ax+by=1（a，b是實(shí)數(shù)）與圓x²+y²=1相交于A、B兩點(diǎn)，且△AOB是直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（0，1）之間的距離的最小值為$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)O作OC垂直于弦AB，由△AOB是直角三角形且|OA|=|OB|=1，可得此三角形為等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得C為斜邊AB的中點(diǎn)，利用勾股定理求出|AB|的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的半徑可求出|OC|的長(zhǎng)，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到已知的直線的距離，令求出的距離等于求出的|OC|的長(zhǎng)，可得a與b的關(guān)系式，從而用b表示出a且得到b的范圍，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出所求兩點(diǎn)間的距離d，把表示出的a代入得到關(guān)于b的二次三項(xiàng)式，設(shè)被開(kāi)方數(shù)為f（b），可得此函數(shù)為開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為x=2的拋物線，根據(jù)b的范圍判定得到函數(shù)為減函數(shù)，把b的最大值代入d可求出d的最小值．

解答 解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：
過(guò)O作OC⊥AB，因?yàn)椤鰽OB為等腰直角三角形，所以C為弦AB的中點(diǎn)，
又|OA|=|OB|=1，根據(jù)勾股定理得：|AB|=$\sqrt{2}$，
∴|OC|=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圓心到直線的距離為$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即2a²+b²=2，即a²=-$\frac{1}{2}$b²+1，
∴-$\sqrt{2}$≤b≤$\sqrt{2}$，
則點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（0，1）之間距離d=$\sqrt{（a-0）^{2}+（b-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}^{2}-2b+2}$，
設(shè)f（b）=$\frac{1}{2}$b²-2b+2，此函數(shù)為對(duì)稱(chēng)軸為x=2的開(kāi)口向上的拋物線，
∴當(dāng)-$\sqrt{2}$≤b≤$\sqrt{2}$＜2時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，
∵f（$\sqrt{2}$）=3-2$\sqrt{2}$，
∴d的最小值為$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有等腰直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，兩點(diǎn)間的距離公式，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，其中表示出所求的距離d，由自變量b的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷得出函數(shù)f（b）為減函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．