Question

1．（1）已知a＞b＞0，證明：（${\sqrt{a}$-$\sqrt}$）²＜$\frac{{{{（{a-b}）}^2}}}{4b}$；
（2）設(shè)a，b，c為△ABC的三條邊，求證：a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）．

Answer 1

分析 （1）采用分析法推導(dǎo)使結(jié)論成立的條件即可；
（2）根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊代入式子即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）欲證${（{\sqrt{a}-\sqrt}）^2}＜\frac{{{{（{a-b}）}^2}}}{4b}$，
只需證$1＜\frac{{{{（{\sqrt{a}+\sqrt}）}^2}}}{4b}$，
即證$1＜\frac{{a+b+2\sqrt{a}\sqrt}}{4b}$
∵a＞b＞0，∴$\frac{a+b+2\sqrt{a}\sqrt}{4b}$＞$\frac{b+b+2\sqrt\sqrt}{4b}$=1．
∴（${\sqrt{a}$-$\sqrt}$）²＜$\frac{{{{（{a-b}）}^2}}}{4b}$．
（2）∵a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，
∴a²+b²+c²＜a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）=2（ab+bc+ca）．
∴a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明方法，屬于中檔題．