Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差數(shù)列{b_n}滿足b₃=3，b₅=9．
（1）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{_{n+2}}{{a}_{n+2}}$（n∈N^*），求{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n+1=2S_n+1，①
得a_n=2S_n-1+1（n≥2），②
①-②得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
∴a_n+1=3a_n，即$\frac{an+1}{an}$=3，又當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{a2}{a1}$=3也符合上式，
∴a_n=3^n-1．
由數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，b₃=3，b₅=9，設(shè){b_n}公差為d，
∴b₅-b₃=9-3=2d，∴d=3，∴b_n=3n-6．
（2）由（1）知：a_n+2=3ⁿ⁺¹，b_n+2=3n，
∴c_n=$\frac{_{n+2}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{3n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
∴{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{3+2n}{2×{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯位相減法”、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．