1.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差數(shù)列{bn}滿足b3=3,b5=9.
(1)分別求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=$\frac{_{n+2}}{{a}_{n+2}}$(n∈N*),求{cn}的前n項(xiàng)和為Tn

分析 (1)利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(2)利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 解:(1)由an+1=2Sn+1,①
得an=2Sn-1+1(n≥2),②
①-②得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,
∴an+1=3an,即$\frac{an+1}{an}$=3,又當(dāng)n=1時(shí),$\frac{a2}{a1}$=3也符合上式,
∴an=3n-1
由數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,b3=3,b5=9,設(shè){bn}公差為d,
∴b5-b3=9-3=2d,∴d=3,∴bn=3n-6.
(2)由(1)知:an+2=3n+1,bn+2=3n,
∴cn=$\frac{_{n+2}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{3n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$.
∴{cn}的前n項(xiàng)和為Tn=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$,
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$,
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{{3}^{n}})}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{3+2n}{2×{3}^{n+1}}$,
∴Tn=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$.

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯位相減法”、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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