Question

13．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，AC=$\sqrt{5}$，AA₁=a，M為線段BB₁上的一動點，則當AM+MC₁最小值為3$\sqrt{2}$，△AMC₁的面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開成平面連接AC₁，與BB₁的交點即為滿足AM+MC₁最小時的點M，由此可以求得△AMC₁的三邊長，再由余弦定理求出其中一角，由面積公式求出面積

解答 解：將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開成平面連接AC₁，與BB₁的交點即為滿足AM+MC₁最小時的點M，
由于AB=1，BC=2，AA₁=a，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得BM=$\frac{1}{3}$AA₁=$\frac{a}{3}$，故B₁M=$\frac{2a}{3}$，
由圖形及棱柱的性質(zhì)，可得AM=$\frac{\sqrt{9+{a}^{2}}}{3}$，AC₁=$\sqrt{5+{a}^{2}}$，MC₁=$\sqrt{4+\frac{4}{9}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{36+4{a}^{2}}}{3}$，
∵AM+MC₁最小值為3$\sqrt{2}$，∴$\frac{\sqrt{9+{a}^{2}}}{3}+\frac{\sqrt{36+4{a}^{2}}}{3}$=3$\sqrt{2}$，解得a=3，
∴$AM=\sqrt{2}$，AC₁=$\sqrt{14}$，MC₁=$2\sqrt{2}$，
∴cos∠AMC₁=$\frac{2+8-14}{2×\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
故sin∠AMC₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
△AMC₁的面積為$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查棱柱的特征，求解本題的關鍵是根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其棱長等求出三角形的邊長，再由面積公式求面積，本題代數(shù)與幾何相結(jié)合，綜合性強，解題時要注意運算準確，正確認識圖形中的位置關系．