Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²+lnx-ax在（0，1）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$2\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）是增函數(shù)，等價(jià)為f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），要使f（x）=lnx+x²-ax在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
則等價(jià)為f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，
∵f（x）=lnx+x²-ax，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-a≥0，
即a≤$\frac{1}{x}$+2x在x∈（0，1）上恒成立，
當(dāng)x＞0時(shí)，y=$\frac{1}{x}$+2x≥2$\sqrt{2x•\frac{1}{x}}$=2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
則a≤2$\sqrt{2}$，
故答案為：（-∞，$2\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和判斷，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立即可得到結(jié)論．