Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=x²-2ax+2．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[2，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求出對稱軸方程，由此求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由二次函數(shù)的對稱軸對函數(shù)定義域分類，然后利用函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)的最值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x²-2x+2，
函數(shù)的對稱軸方程為x=1，又開口向上，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax+2的對稱軸方程為x=a，
當(dāng)a＜2時，函數(shù)f（x）在[2，4]上為增函數(shù)，f（x）_min=f（2）=6-4a，f（x）_max=f（4）=18-8a；
當(dāng)a＞4時，函數(shù)f（x）在[2，4]上為減函數(shù)，f（x）_min=f（4）=18-8a，f（x）_max=f（2）=6-4a；
當(dāng)2≤a≤3時，函數(shù)f（x）在[2，a]上為減函數(shù)，在[a，4]上為增函數(shù)，f（x）_min=f（a）=a²-2a+2，f（x）_max=f（4）=18-8a；
當(dāng)3＜a≤4時，函數(shù)f（x）在[2，4]上為增函數(shù)，f（x）_min=f（a）=a²-2a+2，f（x）_max=f（2）=6-4a．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．