Question

16．設(shè){a_n}為等比數(shù)列，下列命題正確的有①②④（寫出所有正確命題的序號）
①設(shè)${b_n}={a_n}^2$，則 {b_n}為等比數(shù)列；
②若a_n＞0，設(shè)c_n=lna_n，則 {c_n}為等差數(shù)列；
③設(shè){a_n}前n項和為S_n，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比數(shù)列；
④設(shè){a_n}前n項積為T_n，則${T_n}^2={（{{a_1}{a_n}}）^n}$．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的通項公式和求和公式，逐個選項驗證即可．

解答 解：①設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，${b_n}={a_n}^2$，
則$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）²=q²，為常數(shù)
∴{b_n}是公比為q²的等比數(shù)列，正確；
②當a_n＞0，c_n=lna_n時，c_n+1-c_n
=lna_n+1-lna_n=ln$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=lnq，為常數(shù)
∴{a_n}是公差為lnq的等差數(shù)列，正確；
③舉反例a_n=（-1）ⁿ，則S₂=0，顯然不能成等比數(shù)列，錯誤；
④設(shè){a_n}前n項積為T_n，則T_n=a₁a₂a₃…a_n，
∴T_n²=（a₁a₂a₃…a_n）²=[$（{a}_{1}{a}_{n}）^{\frac{n}{2}}$]²=（a₁a_n）ⁿ，正確．
故答案為：①②④

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，屬基礎(chǔ)題．