Question

6．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤0}\end{array}\right.$，若z=x+ay的最大值是2，則實(shí)數(shù)a=2．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，結(jié)合z=x+ay的最大值是2，討論a的取值范圍，然后根據(jù)條件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
若a=0，則x=z，此時(shí)滿足條件最大值為0，不滿足條件，
若a＞0，
由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，其斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0．
平移直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）時(shí)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值2，
由0+a=2，得a=2，
若a＜0，目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0．
平移直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
由圖象可知直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最大z=0，此時(shí)不滿足條件，
綜上a=2，
答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．注意要對(duì)a進(jìn)行分類討論．