Question

15．把正奇數(shù)數(shù)列{2n-1}中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖的三角形數(shù)表：
設(shè)a_mn（m，n∈N^*）是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第m行、從左往右數(shù)第n個(gè)數(shù)．
（1）求a₇₃；
（2）若a_mn=2011，求m，n的值；
（3）已知函數(shù)$f（x）=\frac{{\root{3}{x}}}{2^n}（x＞0）$，若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為b_n，求數(shù)列{f（b_n）}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用前t-1行共有數(shù)的個(gè)數(shù)為1+2+…+（t-1）可確定每行第1個(gè)數(shù)的值，通過每行數(shù)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過每行第1個(gè)數(shù)的值可確定m=45，進(jìn)而利用等差數(shù)列的知識(shí)計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過（1）可知第n行第1個(gè)數(shù)為n²-n+1、最后一個(gè)數(shù)為n²+n-1，進(jìn)而f（b_n）=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意可知：前t-1行共有1+2+…+（t-1）=$\frac{t（t-1）}{2}$個(gè)數(shù)，
∴第t行第1個(gè)數(shù)為1+2•[$\frac{t（t-1）}{2}$-1]+2=t²-t+1，
∴a₇₃=（7²-7+1）+2•2=47；
（2）由（1）可知：第45行第1個(gè)數(shù)為：45²-45+1=1981，
第46行第1個(gè)數(shù)為：46²-46+1=2071，
又∵a_mn=2011，
∴m=45，
∴1981+2（n-1）=2011，解得：n=16，
綜上，當(dāng)a_mn=2011時(shí)，m=45、n=16；
（3）由（1）可知：第n行第1個(gè)數(shù)為n²-n+1，
最后一個(gè)數(shù)為：n²-n+1+2（n-1）=n²+n-1，
∴b_n=$\frac{n}{2}•$[（n²-n+1）+（n²+n-1）]=n³，
∵函數(shù)$f（x）=\frac{{\root{3}{x}}}{2^n}（x＞0）$，
∴f（b_n）=$\frac{\root{3}{{n}^{3}}}{{2}^{n}}$=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=1•$\frac{1}{{2}^{1}}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=1-（1+$\frac{n}{2}$）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列的應(yīng)用題，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．