Question

5．如圖，已知$\overrightarrow{OP}$=（2，1），$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），設(shè)Z是直線OP上的一動點．
（1）求使$\overrightarrow{ZA}$•$\overrightarrow{ZB}$取最小值時的$\overrightarrow{OZ}$；
（2）對（1）中求出的點Z，求cos∠AZB的值．

Answer 1

分析 （1）運用向量共線的坐標(biāo)表示，求得向量ZA，ZB的坐標(biāo)，由數(shù)量積的標(biāo)準(zhǔn)表示，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得最小值，及向量OZ；
（2）求得t=2的向量ZA，ZB，以及模的大小，由向量的夾角公式，計算即可得到．

解答 解：（1）∵Z是直線OP上的一點，
∴$\overrightarrow{OZ}$∥$\overrightarrow{OP}$，
設(shè)實數(shù)t，使$\overrightarrow{OZ}$=t$\overrightarrow{OP}$，
∴$\overrightarrow{OZ}$=t（2，1）=（2t，t），
則$\overrightarrow{ZA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OZ}$=（1，7）-（2t，t）=（1-2t，7-t），
$\overrightarrow{ZB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OZ}$=（5，1）-（2t，t）=（5-2t，1-t）．
∴$\overrightarrow{ZA}$•$\overrightarrow{ZB}$=（1-2t）（5-2t）+（7-t）（1-t）
=5t²-20t+12=5（t-2）²-8．
當(dāng)t=2時，$\overrightarrow{ZA}$•$\overrightarrow{ZB}$有最小值-8，
此時$\overrightarrow{OZ}$=（2t，t）=（4，2）．
（2）當(dāng)t=2時，$\overrightarrow{ZA}$=（1-2t，7-t）=（-3，5），|$\overrightarrow{ZA}$|=$\sqrt{34}$，
$\overrightarrow{ZB}$=（5-2t，1-t）=（1，-1），|$\overrightarrow{ZB}$|=$\sqrt{2}$．
故cos∠AZB═$\frac{\overrightarrow{ZA}•\overrightarrow{ZB}}{|\overrightarrow{ZA}|•|\overrightarrow{ZB}|}$=$\frac{-8}{\sqrt{34}×\sqrt{2}}$
=-$\frac{4}{\sqrt{17}}$=-$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量共線的坐標(biāo)運算，以及向量夾角公式，考查運算能力，屬于中檔題．