Question

10．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）設(shè)$a=\frac{1}{3}$，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知真數(shù)大于零，進(jìn)而確定x的范圍，求得函數(shù)的定義域．
（2）利用函數(shù)解析式可求得f（-x）=-f（x），進(jìn)而判斷出函數(shù)為奇函數(shù)．
（3）將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），則$\left\{{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}}\right.$解得-1＜x＜1．
故所求定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．
（2）f（x）為奇函數(shù)．
理由如下：由（1）知f（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}，
且f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x），
故f（x）為奇函數(shù)．
（3）由f（x）＞0得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
即log_a（x+1）＞log_a（1-x），
設(shè)$a=\frac{1}{3}$，則函數(shù)y=log_ax為減函數(shù)，
則不等式等價(jià)為x+1＜1-x，
即x＜0，
∵定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．
∴-1＜x＜0．
即不等式的解集為（-1，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)的定義域，奇偶性的判斷和單調(diào)性的應(yīng)用．要求考生對函數(shù)的基本性質(zhì)熟練掌握．