Question

18．已知M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是雙曲線線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且x₁+x₂=1，若線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，0）
• B． （$\frac{3}{4}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{3}{4}$，0）

Answer 1

分析 利用點(diǎn)差法，求出MN的斜率，可得線段MN的垂直平分線方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，n），則
∵M(jìn)（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴代入作差可得$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴k_MN=$\frac{1}{n}$，
∴線段MN的垂直平分線方程為y-n=-n（x-$\frac{1}{2}$），
令y=0，可得x=$\frac{1}{2}$，
∴線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)Q（$\frac{1}{2}$，0）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．