Question

7．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，點(diǎn)（n，S_n）滿足f（x）=2^x+1-k，且S₃=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_nlog₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=a_nlog₂a_n=${2}^{n}•lo{g}_{2}{2}^{n}$=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，點(diǎn)（n，S_n）滿足f（x）=2^x+1-k，且S₃=14，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{n}={2}^{n+1}-k}\\{{S}_{3}={2}^{4}-k=14}\end{array}\right.$，解得k=2，∴${S}_{n}={2}^{n+1}-2$，
∴${a}_{1}={S}_{1}={2}^{2}-2$=2，
n≥2時(shí)，${a}_{n}={{S}_{n}-{S}_{n-1}=（2}^{n+1}-2）-（{2}^{n}-2）$=2ⁿ，
n=1時(shí)，上式成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_nlog₂a_n=${2}^{n}•lo{g}_{2}{2}^{n}$=n•2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n×{2}^{n+1}$
=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．