Question

3．過點P（4，6）的圓x²+y²=16的切線方程為5x-12y+52=0或x=4．

Answer 1

分析 首先，圓x²+y²=16的圓心為原點，半徑為4，然后討論：當(dāng)過點P（4，6）的直線斜率不存在時，方程是x=4，通過驗證圓心到直線的距離，得到x=4符合題意；當(dāng)過點P（4，6）的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y-6=k（x-4），根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑4，建立關(guān)于k的方程，解之得k，進(jìn)而得到直線的方程．最后綜合可得答案．

解答 解：圓x²+y²=16的圓心為原點，半徑為4
（1）當(dāng)過點P（4，6）的直線垂直于x軸時，
此時直線斜率不存在，方程是x=4，
因為圓心O（0，0）到直線的距離為d=4=r，所以直線x=4符合題意；
（2）當(dāng)過點P（4，6）的直線不垂直于x軸時，設(shè)直線方程為y-6=k（x-4）
即kx-y-4k+6=0
∵直線是圓x²+y²=16的切線
∴點O（0，0）到直線的距離為d=$\frac{|-4k+6|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，解之得k=$\frac{5}{12}$，此時直線方程，整理得5x-12y+52=0
綜上所述，得切線方程為切線方程為5x-12y+52=0或x=4．
故答案為：5x-12y+52=0或x=4．

點評 本題借助于求過圓外一個定點的圓的切線方程的問題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式等知識點，屬于基礎(chǔ)題．