Question

11．已知拋物線C的頂點在原點，對稱軸是x軸，并且經(jīng)過點P（1，-2），C的準線與x軸相交于點M．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過拋物線C的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，若$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}\;（\frac{3}{4}＜λ＜2）$，求${\overrightarrow{MA}^2}+{\overrightarrow{MB}^2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設拋物線C的方程為y²=2px（p≠0），由于拋物線C過點P（1，-2），代入求拋物線C的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立方程確定組$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=my+1\end{array}\right.$消去x，得y²-4my-4=0，$0≤{m^2}＜\frac{1}{8}$，表示出${\overrightarrow{MA}^2}+{\overrightarrow{MB}^2}$，即可求${\overrightarrow{MA}^2}+{\overrightarrow{MB}^2}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） 設拋物線C的方程為y²=2px（p≠0），
由于拋物線C過點P（1，-2），則（-2）²=2p•1，所以p=2，
則拋物線C的方程為y²=4x．（3分）
（Ⅱ） F（1，0），設l：x=my+1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） （ y₁y₂≠0），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=my+1\end{array}\right.$消去x，得y²-4my-4=0．
所以$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=4m，①\\{y_1}{y_2}=-4，\;\;\;②\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=m{y_1}+1\\{x_2}=m{y_2}+1\end{array}\right.$
又$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}\;（\frac{3}{4}＜λ＜2）$，則（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），即y₁=-λy₂，（6分）
代入①，②得$\left\{\begin{array}{l}（1-λ）{y_2}=4m\\-λy_2^2=-4\end{array}\right.$消去y₂得$4{m^2}=λ+\frac{1}{λ}-2$，
因為$\frac{3}{4}＜λ＜2$，所以$2≤λ+\frac{1}{λ}＜\frac{5}{2}$，則$0≤{m^2}＜\frac{1}{8}$，（8分）
由M（-1，0），則$\overrightarrow{MA}=（{x_1}+1，{y_1}）$，$\overrightarrow{MB}=（{x_2}+1，{y_2}）$，
則${\overrightarrow{MA}^2}+{\overrightarrow{MB}^2}={（{x_1}+1）^2}+y_1^2+{（{x_2}+1）^2}+y_2^2$=$x_1^2+x_2^2+2（{x_1}+{x_2}）+2+y_1^2+y_2^2$=${（m{y_1}+1）^2}+{（m{y_2}+1）^2}+2（m{y_1}+m{y_2}+2）+2+y_1^2+y_2^2$=$（{m^2}+1）（y_1^2+y_2^2）+4m（{y_1}+{y_2}）+8$
=（m²+1）（16m²+8）+4m•4m+8=16m⁴+40m²+16．（11分）
而當$0≤{m^2}＜\frac{1}{8}$時，$16≤16{m^4}+40{m^2}+16＜\frac{85}{4}$，
所以$16≤{\overrightarrow{MA}^2}+{\overrightarrow{MB}^2}＜\frac{85}{4}$，故${\overrightarrow{MA}^2}+{\overrightarrow{MB}^2}$的取值范圍是$[16，\;\;\frac{85}{4}）$．（13分）

點評 本題主要考查了圓錐曲線的位置關系，難度偏高，在考試常作為壓軸題，考查了學生分析問題和推理的能力．