Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-2（x≥0）}\\{-1-\frac{1}{2}{x}^{2（x＜0）}}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x）-mx=0恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，$\sqrt{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （0，$\sqrt{2}$）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 畫出分段函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=mx，關(guān)于x的方程f（x）-mx=0恰有3個不同的實數(shù)根，即為y=f（x）和直線y=mx有三個不同的交點．求出直線和y=f（x）（x＜0）的圖象相切時的m的值，再由直線繞著原點旋轉(zhuǎn)，觀察即可得到．

解答 解：畫出分段函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=mx，
關(guān)于x的方程f（x）-mx=0恰有3個不同的實數(shù)根，
即為y=f（x）和直線y=mx有三個不同的交點．
當(dāng)直線與y=f（x）（x＜0）的圖象相切時，
直線與y=f（x）（x∈R）恰有兩個交點．
聯(lián)立y=mx和y=-1-$\frac{1}{2}$x²（x＜0），可得$\frac{1}{2}$x²+mx+1=0，
由判別式m²-2=0，可得m=$\sqrt{2}$（-$\sqrt{2}$舍去），
通過圖象觀察，當(dāng)直線的斜率大于$\sqrt{2}$時，
直線與y=f（x）（x∈R）都有三個交點．
則實數(shù)m的取值范圍為（$\sqrt{2}$，+∞）．
故選B．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用：求參數(shù)的范圍，主要考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時考查直線和曲線相切的條件：判別式為0，屬于中檔題．