Question

7．已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各個頂點都在表面積為16π的球面上，且AB=$\sqrt{3}$AD，AA₁=2AD，則四棱錐D₁-ABCD的體積為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{4\sqrt{6}}{3}$
• C． 2$\sqrt{6}$
• D． 4$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 設(shè)AD=x，長方體的外接球的半為R，利用$A{D}^{2}+A{B}^{2}+A{A}_{1}^{2}$=（2R²），4πR²=16π，解出x，R，再利用四棱錐的體積計算公式即可得出．

解答 解：設(shè)AD=x，長方體的外接球的半為R，
則$A{D}^{2}+A{B}^{2}+A{A}_{1}^{2}$=（2R²），4πR²=16π，
∴${x}^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}$+（2x）²=4R²，R²=4．
化為8x²=16，
解得x=$\sqrt{2}$，
∴四棱錐D₁-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}A{A}_{1}•{S}_{ABCD}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}{x}^{2}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、長方體的對角線與外接球的直徑直徑的關(guān)系、四棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．