Question

8．已知a＞0，且不等式（x+t+$\frac{1}{t}$+a）²+（x-$\frac{1}{t}$-2）²≥50對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈R，t＞0恒成立，則a的取值范圍是（0，+∞）．

Answer 1

分析 把已知不等式變形為關(guān)于x的一元二次不等式，由不等式（x+t+$\frac{1}{t}$+a）²+（x-$\frac{1}{t}$-2）²≥50對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立，可得一元二次不等式的判別式小于等于0，整理得$（t+a）^{2}+4（t+a）+\frac{4（at+t+1）}{{t}^{2}}≥0$，在a＞0時(shí)，該式對(duì)任意的t＞0恒成立，從而得到a的取值范圍．

解答 解：由（x+t+$\frac{1}{t}$+a）²+（x-$\frac{1}{t}$-2）²≥50，得：
$2{x}^{2}+2（t+a-2）x+{t}^{2}+\frac{2}{{t}^{2}}+2at+\frac{2a+4}{t}$+a²-44≥0，
∵不等式（x+t+$\frac{1}{t}$+a）²+（x-$\frac{1}{t}$-2）²≥50對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立，
∴△=$4（t+a-2）^{2}-8（{t}^{2}+\frac{2}{{t}^{2}}+2at+\frac{2a+4}{t}+{a}^{2}-44）≤0$，
整理得：$（t+a）^{2}+4（t+a）+\frac{4（at+t+1）}{{t}^{2}}≥0$，
在a＞0時(shí)，該式對(duì)任意的t＞0恒成立，
∴a的取值范圍是（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．