Question

17．對于函數(shù)f（x），等式f（1+x）•f（1-x）=4對定義域中的每一個x都成立，已知當x∈[0，1]時，f（x）=x²-m（x-1）+1（m＞0），若當x∈[0，2]時，都有1≤f（x）≤4，則m的取值范圍是0＜m≤3．

Answer 1

分析 根據(jù)當x∈[0，1]時，f（x）=x²-m（x-1）+1（m＞0），確定f（x）的對稱軸為$x=\frac{m}{2}$，根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關系進行分類討論，分別求出f（x）在[0，1]和[0，2]上的值域，列出不等式組，求解即可得到m的取值范圍．

解答 解：∵f（1+x）•f（1-x）=4對定義域中的每一個x都成立，
∴f（x+1）=$\frac{4}{f（1-x）}$，
即f（x）=$\frac{4}{f（2-x）}$，
∴當x∈[1，2]時，f（x）=$\frac{4}{f（2-x）}$，其中2-x∈[0，1]，
又∵x∈[0，1]時f（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1，其對稱軸方程為$x=\frac{m}{2}$，
①當$\frac{m}{2}＞1$，即m＞2時，f（x）在[0，1]上的值域為[f（1），f（0）]，即[2，m+1]，
∴f（x）在[0，2]上的值域為$[2，m+1]∪[\frac{4}{m+1}，2]=[\frac{4}{m+1}，m+1]$，
由題意，得$\left\{{\begin{array}{l}{m+1≤4}\\{\frac{4}{m+1}≥1}\end{array}}\right.$，∴2＜m≤3；
②當$\frac{1}{2}≤\frac{m}{2}≤1$，即1≤m≤2時，f（x）的值域為[f（$\frac{m}{2}$），f（0）]，即$[m+1-\frac{m^2}{4}，m+1]$，
∴f（x）在[0，2]上的值域為$[m+1-\frac{m^2}{4}，m+1]∪[\frac{4}{m+1}，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$，
由題意，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}≤4}\\{m+1≤4}\end{array}}\right.$，且$\left\{{\begin{array}{l}{m+1-\frac{m^2}{4}≥1}\\{\frac{4}{m+1}≥1}\end{array}}\right.$，解得1≤m≤2；
③當$0＜\frac{m}{2}≤\frac{1}{2}$，即0＜m≤1時，f（x）的值域為[f（$\frac{m}{2}$），f（1）]，即$[m+1-\frac{m^2}{4}，2]$，
∴f（x）在[0，2]上的值域為$[m+1-\frac{m^2}{4}，2]∪[2，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$，即$[m+1-\frac{m^2}{4}，\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}]$，
由題意，得$\left\{{\begin{array}{l}{m+1-\frac{m^2}{4}≥1}\\{\frac{4}{{m+1-\frac{m^2}{4}}}≤4}\end{array}}\right.$，解得0＜m≤1．
綜合①②③，所求m的取值范圍是0＜m≤3．
故答案為：0＜m≤3

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和值域之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．