Question

12．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x，x∈R，若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使得f（a-x）+f（ax²-1）＜0成立，a的范圍為（-∞，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x，x∈R為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，由題意可得ax²-x+a-1＜0有解．分類(lèi)討論，求得a的范圍．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x，x∈R為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，
至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使得f（a-x）+f（ax²-1）＜0成立，
即不等式f（a-x）＜-f（ax²-1）=f（1-ax²）有解，
∴a-x＜1-ax²有解，即ax²-x+a-1＜0有解．
顯然，a=0滿足條件．
當(dāng)a＞0時(shí)，由△=1-4a（a-1）＞0，即4a²-4a-1＜0，
求得$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，∴0＜a＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式ax²-x+a-1＜0一定有解．
故答案為：（-∞，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查特稱命題，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．