Question

6．已知a，b∈R，且ab≠2，若矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{2}\end{array}]$所對應(yīng)的變換T把直線l：x-y=3變換為自身．
（1）求實數(shù)a，b的取值；
（2）若向量$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{-2}\end{array}]$，求M¹⁰$\overrightarrow{β}$．

Answer 1

分析 （1）利用矩陣變換得到變換前后點的坐標關(guān)系，再代入到直線方程x-y-3=0中，得到關(guān)于a、b的等式，解方程組求出a，b的值，得到本題結(jié)論．
（2）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式f（λ），再令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．利用特征向量的性質(zhì)計算，先利用特征向量表示向量β，后將求M¹⁰β的值的問題轉(zhuǎn)化成求有關(guān)特征向量的計算問題．

解答 解：（1）設(shè)直線x-y-3=0上任意一點P（x，y）在變換T_A的作用下變成點P'（x'，y'），
∵$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+ay}\\{y′=bx+2y}\end{array}\right.$，
∵P'（x'，y'）在直線x-y-3=0上，
∴x'-y'-3=0，
即（1-b）x+（a-2）y-3=0，
又∵P（x，y）在直線x-y-3=0上，
∴x-y-3=0． 
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b=1}\\{a-2=-1}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=0．
（2）矩陣M的特征多項式為f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{-1}\\{0}&{λ-2}\end{array}|$=（λ-1）（λ-2）=0，
∴λ₁=1，λ₂=2，
設(shè)對應(yīng)λ₁=1的特征向量為$\overrightarrow{{α}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，
由M$\overrightarrow{{α}_{1}}$=λ₁$\overrightarrow{{α}_{1}}$，得$\overrightarrow{{α}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$
有M$\overrightarrow{{α}_{2}}$=λ₂$\overrightarrow{{α}_{2}}$，得$\overrightarrow{{α}_{2}}$=$[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]$
由$\overrightarrow{β}$=-$\overrightarrow{{α}_{1}}$-2$\overrightarrow{{α}_{2}}$，得M¹⁰β=M¹⁰（-$\overrightarrow{{α}_{1}}$-2$\overrightarrow{{α}_{2}}$）=-$\overrightarrow{{α}_{1}}$-2•2¹⁰•$\overrightarrow{{α}_{2}}$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{-2048}\end{array}]$．

點評 本題考查了矩陣變換與曲線方程的關(guān)系，考查了特征值與特征向量的計算以及利用特征向量求向量乘方的問題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．