Question

17．已知正數(shù)數(shù)列{a_n}滿足：數(shù)列{a_2n-1}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列{a_2n}是首項(xiàng)為2的等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），已知S₃=a₄，a₂+a₃+a₅=a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前2m項(xiàng)和S_2m．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_2n-1}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，數(shù)列{a_2n}是首項(xiàng)為2，公差為d的等差數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程，解得q，d，即可得到通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，由等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)即可得到．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_2n-1}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_2n}是首項(xiàng)為2，公差為d的等差數(shù)列，
由S₃=a₄，a₂+a₃+a₅=a₆．
即有3+q=2+d，2+q+q²=2+2d，
解得q=2，d=3或q=-1，d=0（舍去），
則有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{k-1}，n=2k-1}\\{3k-1，n=2k}\end{array}\right.$；
（2）S_2m=（a₁+a₃+a₅+…+a_2m-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2m）
=（1+2+4+…+2^m-1）+[2+5+8+…+（3m-1）]
=$\frac{1-{2}^{m}}{1-2}$+$\frac{m（2+3m-1）}{2}$
=2^m-1+$\frac{3}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，注意運(yùn)用分組求和，屬于中檔題．