Question

4．已知曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=\frac{5\sqrt{22}}{22}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρsin（$θ-\frac{π}{6}$）=0，且曲線C₁與曲線C₂在第一象限的交點(diǎn)為A，長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)都在C₁上（其中A、B、C、D依次逆時(shí)針次序排列）求A、B、C、D的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 由曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=\frac{5\sqrt{22}}{22}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），利用cos²φ+sin²φ=1即可化為直角坐標(biāo)方程，曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρsin（$θ-\frac{π}{6}$）=0，化為$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ-\frac{1}{2}ρcosθ$=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：由曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=\frac{5\sqrt{22}}{22}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），化為直角坐標(biāo)方程：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{22{y}^{2}}{25}$=1，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρsin（$θ-\frac{π}{6}$）=0，化為$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ-\frac{1}{2}ρcosθ$=0，可得：$\sqrt{3}$y-x=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y=0}\\{{x}^{2}+22{y}^{2}=25}\end{array}\right.$，交點(diǎn)$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
取點(diǎn)A$（\sqrt{3}，1）$．
由題意可得：B$（-\sqrt{3}，1）$，C$（-\sqrt{3}，-1）$，D$（\sqrt{3}，-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．