Question

13．已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，△ABC三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC邊所在直線的方程為4x+y-20=0，則拋物線方程為y²=16x．

Answer 1

分析 設拋物線的方程為y²=2px，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結(jié)合直線l與拋物線相交于兩個不同的點得到根的判別式大于0，結(jié)合根與系數(shù)的關系利用重心公式即可求得p值，從而解決問題．

解答 解：設拋物線的方程為y²=2px．

由$\left\{\begin{array}{l}4x+y-20=0\\{y}^{2}=2px\end{array}\right.$可得2y²+py-20p=0．
由△＞0，有p＞0，或p＜-160．
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{p}{2}$，
∴x₁+x₂=（5-$\frac{{y}_{1}}{4}$）+（5-$\frac{{y}_{2}}{4}$）=10-$\frac{1}{4}$（y₁+y₂）=10+$\frac{p}{8}$，
設A（x₃，y₃），由△ABC的重心為F（$\frac{p}{2}$，0），則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}$=$\frac{p}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}$=0，
∴x₃=$\frac{11p}{8}$-10，y₃=$\frac{p}{2}$．
∵點A在拋物線上，
∴（$\frac{p}{2}$）²=2p（$\frac{11p}{8}$-10），
∴p=8．
∴拋物線的方程為y²=16x，
故答案為：y²=16x

點評 本題考查的知識點是拋物線的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關系，重心坐標公式，難度中檔．