Question

10．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，a，b，c是常數(shù)且a≠0，滿足條件：f（0）=3，f（3）=6，且對任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）問是否存在實數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別是[m，n]，[2m，2n]？若存在，求出m，n；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的對稱軸，得到關于a，b，c的方程組，解出即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關于m，n的方程組，解出即可．

解答 解：（1）∵對任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），
∴函數(shù)的對稱軸是x=-$\frac{2a}$=1①，
又f（0）=3，f（3）=6，
∴f（0）=c=3②，f（3）=9a+3b+c=6③，
由①②③組成方程組解得：a=1，b=-2，c=3，
∴f（x）=x²-2x+3；
（2）f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
對稱軸x=1，函數(shù)的最小值是2，
由于函數(shù)f（x）的定義域為[m，n]，值域為[2m，2n]，m＜n，．
∴函數(shù)f（x）在定義域為[m，n]上是增函數(shù)，
∴f（m）=2m，f（n）=2n，
即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2m+3=2m}\\{{n}^{2}-2n+3=2n}\end{array}\right.$，解得：m=1，n=3，
∴m=1，n=3．

點評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬中檔題．