Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=λa_n-1（其中λ為常數(shù)）
（1）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列？若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．
（2）當(dāng)λ=2時(shí)，若數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=a_n+b_n，且b1=

3

2

，令c_n=2b_n+n．求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)S_n=λa_n-1求出前3項(xiàng)，然后根據(jù)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列必有2a₂=a₁+a₃，最后可判定是否存在；
（2）根據(jù)遞推關(guān)系確定數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，然后利用利用累加法求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，最后利用分組求和法進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）∵S_n=λa_n-1，∴a₁=λa₁-1，∴a1=

1

λ-1

，λ≠1
依次求a2=

λ

(λ-1)2

，a3=

λ2

(λ-1)3

，
∴若使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，必有2a₂=a₁+a₃，帶入得0=1，
故不存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）當(dāng)λ=2時(shí)，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1（n≥2），且a₁=1，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），而a₁=1≠0，故a_n≠0（n∈N*），
∴

an

an-1

=2(n≥2)，
即數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故an=2n-1（n∈N*），
∵b_n+1=a_n+b_n，利用累加法可得bn=

2n+1

2

（n≥2）且b1=

3

2

，
∴bn=

2n+1

2

（n∈N*），cn=2bn+n=2n+1+n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n

=(2+22+…+2n)+n+(1+2+…+n) =2n+1+ 1 2 n2+ 3 2 n-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的判定，以及累加法求通項(xiàng)公式和分組求和法，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．