Question

11．如圖，一海島D，海島離岸邊最近點(diǎn)B的距離是150km，在岸邊距點(diǎn)B300km的點(diǎn)A處有一批物資需運(yùn)往海島D，為了盡快送達(dá)海島，A與B之間有一鐵路，現(xiàn)用海陸聯(lián)運(yùn)的方式，火車的時(shí)速為50km，船的時(shí)速為30km，試在岸邊選一點(diǎn)C，問選在何處可使運(yùn)輸時(shí)間最短．

Answer 1

分析 設(shè)BC=x，分別求出海運(yùn)時(shí)間和陸運(yùn)時(shí)間，求時(shí)間的最小值即可．

解答 解：設(shè)BC=x，則EC=$\sqrt{E{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{15{0}^{2}+{x}^{2}}$，AC=300-x，則運(yùn)輸時(shí)間t（x）=$\frac{\sqrt{15{0}^{2}+{x}^{2}}}{30}$+$\frac{300-x}{50}$．
∴t′（x）=$\frac{x}{30\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}-\frac{1}{50}$，令$\frac{x}{30\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}-\frac{1}{50}$=0，解得x=$\frac{225}{2}$．
當(dāng)0＜x＜$\frac{225}{2}$時(shí)，t′（x）＜0，當(dāng)$\frac{225}{2}$＜t＜300時(shí)，t′（x）＞0．
∴當(dāng)x=$\frac{225}{2}$時(shí)，t（x）取得最小值．
∴在距離B點(diǎn)$\frac{225}{2}$處進(jìn)行海運(yùn)可使運(yùn)輸時(shí)間最短．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，是中檔題．