8.已知直線y=k(x+2)(k>0)與焦點為F的拋物線y2=8x相交于A,B兩點,若$|{\overrightarrow{AF}}|=4|{\overrightarrow{BF}}|$,則k=(  )
A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{5}$

分析 根據(jù)直線方程可知直線恒過定點,如圖過A、B分別作AM⊥l于M,BN⊥l于N,根據(jù)|FA|=4|FB|,推斷出|AM|=4|BN|,設(shè)出點B的坐標(biāo),求出A的坐標(biāo),利用三點共線,求出B的坐標(biāo),最后利用直線上的兩點求得直線的斜率.

解答 解:設(shè)拋物線C:y2=8x的準(zhǔn)線為l:x=-2
直線y=k(x+2)(k>0)恒過定點P(-2,0)
如圖過A、B分別作AM⊥l于M,BN⊥l于N,
由|FA|=4|FB|,則|AM|=4|BN|,
點B為AP的4等分點、連接OB,
設(shè)點B的縱坐標(biāo)為h,則B($\frac{{h}^{2}}{8}$,h),A(2h2,4h),h>0.(k>0)
A、B、P三點共線,即:$\overrightarrow{PB}∥\overrightarrow{PA}$,
可得:($\frac{{h}^{2}}{8}$+2)4h=(2h2,+2)h,解得h=2.B($\frac{1}{2},2$).
k=$\frac{2-0}{\frac{1}{2}+2}$=$4\overline{5}$.
故選:D.

點評 本題考查了拋物線的簡單性質(zhì),直線與拋物線的綜合應(yīng)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力以及這思想的應(yīng)用,屬于中檔題.

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(2)設(shè)0<a≤b,求μ的值(用a,b表示)使得函數(shù)g(x)=|1n x-ln μ|在區(qū)間(a,b)上的“面積密度”取得最小值;
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