Question

9．已知角∂的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)$P（-3，\sqrt{3}）$．
（1）求sin2∂-tan∂+$\frac{\sqrt{3}}{6}$的值；
（2）若函數(shù)f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow$=（cosx，-1）求函數(shù)y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函數(shù)的定義求出sinα，cosα，tanα的值，再利用倍角公式求出sin2α，則答案可求；
（2）利用兩角和的余弦化簡f（x），結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到函數(shù)y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1，整理后利用x的范圍求得相位的范圍，則函數(shù)y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍可求．

解答 解：（1）∵角α終邊經(jīng)過點(diǎn)$P（-3，\sqrt{3}）$，
∴$sinα=\frac{1}{2}$，cos$α=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，tan$α=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin2α-tanα+$\frac{\sqrt{3}}{6}$=2sinαcosα-tanα$+\frac{\sqrt{3}}{6}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6}=0$；
（2）∵f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα=cosx，x∈R．
∴y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1=$\sqrt{3}sin2x-（2co{s}^{2}x-1）-1$
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x-1=2sin（2x-\frac{π}{6}）-1$．
∵0≤x≤$\frac{2π}{3}$，∴$0≤2x≤\frac{4π}{3}$，$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，則$-2≤2sin（2x-\frac{π}{6}）-1≤1$．
函數(shù)y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍是[-2，1]．

點(diǎn)評 本題考查任意角的三角函數(shù)定義，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，是中檔題．