Question

18．在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n=2a_n-1+（n-2）（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的與前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=3，a_n=2a_n-1+（n-2）（n≥2，n∈N^*）．變形為a_n+n=2（a_n-1+n-1），再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁=3，a_n=2a_n-1+（n-2）（n≥2，n∈N^*）．
∴a_n+n=2（a_n-1+n-1），
∴數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2．
∴a_n=4×2^n-1-n=2ⁿ⁺¹-n．
（2）解：數(shù)列{a_n}的與前n項(xiàng)和S_n=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-（1+2+…+n）
=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（1+n）}{2}$
=2ⁿ⁺²-4-$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．