Question

2．對任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$≥|2x-1|恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�

• A． [-3，4]
• B． [0，2]
• C． $[{-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}}]$
• D． [-4，5]

Answer 1

分析 對任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$），sin²θ+cos²θ=1，可得$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$=（sin²θ+cos²θ）$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{4}{co{s}^{2}θ}）$=5+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$，利用基本不等式的性質(zhì)可得其最小值M．由不等式$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$≥|2x-1|恒成立，可得M≥|2x-1|，解出即可得出．

解答 解：∵對任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$），sin²θ+cos²θ=1，
∴$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$=（sin²θ+cos²θ）$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{4}{co{s}^{2}θ}）$=5+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$≥5+2×2=9，當(dāng)且僅當(dāng)$tanθ=\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∵不等式$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$≥|2x-1|恒成立，
∴9≥|2x-1|，
∴-9≤2x-1≤9，
解得-4≤x≤5，
則實(shí)數(shù)x的取值范圍是[-4，5]．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)求值、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．