Question

已知函數(shù)f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

+…-

x2013

2013

，設(shè)F（x）=f（x+3）g（x-4）且F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：用零點(diǎn)存在性定理，得f（x）在R上有唯一零點(diǎn)x₁∈（-1，0），g（x）在R上有唯一零點(diǎn)x₂∈（1，2），結(jié)合函數(shù)圖象的平移知識(shí)可得F（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間，由此不難得到b-a的最小值．

解答： 解：∵f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

，
f′（x）=1-x+x²-…+x²⁰¹²=

1-x2013

1-x

1-(-x)2013

1-(-x)

=

1+x2013

1+x

＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
∵f（0）=1＞0，f（-1）=-

1

2

-

1

3

-…-

1

2013

＜0，
∴函數(shù)f（x）存在一個(gè)唯一的零點(diǎn)，
設(shè)函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為x₁，
∴根據(jù)根的存在性定理可知x₁∈（-1，0）．
∵g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…+

x2012

2012

-

x2013

2013

，
g′（x）=-1+x-x²-…-x²⁰¹²=

-1[1-(-x)2013)

1-(-x)

=-

1+x2013

1+x

＜0，
即函數(shù)單調(diào)遞減，
∵g（1）=

1

2

-

1

3

+

1

4

-…+

1

2012

-

1

2013

＞0，
g（2）=1-2+

22

2

-

33

3

+…+

22012

2012

-

22013

2013

＜0，
設(shè)函數(shù)g（x）存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)x₂，
∴根據(jù)根的存在性定理可知x₂∈（1，2）．
由F（x）=f（x+3）g（x-4）=0，
則f（x+3）=0或g（x-4）=0．
由x+3∈（-1，0）．得-1＜x+3＜0，
即-4＜x＜-3，
∴函數(shù)f（x+3）的零點(diǎn)在（-4，-3）．
由x-4∈（1，2）．，
得1＜x-4＜2，即5＜x＜6，
∴函數(shù)g（x-4）的零點(diǎn)在（5，6）．
即函數(shù)F（x）=f（x+3）•g（x-4）的零點(diǎn)在（-4，-3）和（5，6）內(nèi)，
∵F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]，（a＜b，a，b∈Z），
∴b≥6，a≤-4，
∴b-a≥10，
即b-a的最小值是10．

點(diǎn)評(píng)：本題給出關(guān)于x的多項(xiàng)式函數(shù)，求函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間長(zhǎng)度的最小值．著重考查了函數(shù)的零點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)，難度較大．