Question

2．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（sinθ，cosθ），0≤θ≤$\frac{π}{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，求tanθ；
（2）若|$\overrightarrow$|=3，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角α的正弦值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（sinθ，cosθ），利用共線(xiàn)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得tanθ；
（2）利用向量的運(yùn)算性質(zhì)及向量的數(shù)量積的應(yīng)用可求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角α的余弦值，繼而可得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角α的正弦值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，
∴cosθ-$\sqrt{3}$sinθ=0，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）∵|$\overrightarrow$|=3，|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為α，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=2|$\overrightarrow{a}$|²+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-|$\overrightarrow$|²=8+3×2×3cosα-9=0，
∴cosα=$\frac{1}{18}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{323}}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算及共線(xiàn)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．