Question

12．已知長為2的線段AB中點為C，當線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上運動時，C點的軌跡為曲線C₁；
（1）求曲線C₁的方程；
（2）直線$\sqrt{2}$ax+by=1與曲線C₁相交于C、D兩點（a，b是實數(shù)），且△COD是直角三角形（O是坐標原點），求點P（a，b）與點（0，1）之間距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)C點坐標為（x，y），根據(jù)中點坐標公式，得到A點坐標為（2x，0），B點坐標為（0，2y），由|AB|=2，即可求出曲線C₁的方程，
（2）先求出，△COD是等腰直角三角形，|CD|=$\sqrt{2}$，再根據(jù)點到直線的距離公式得到$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再由點到點的距離公式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：（1）設(shè)C點坐標為（x，y），則A點坐標為（2x，0），B點坐標為（0，2y），由|AB|=2，得（2x-0）²+（0-2y）²=4，
化簡得x²+y²=1，
所以曲線C₁的方程x²+y²=1，
（2）由曲線C₁的方程x²+y²=1可知圓心（0，0），半徑為1，
所以|OC|=|OD|=1，△COD是等腰直角三角形，|CD|=$\sqrt{2}$，
圓心（0，0）到直線$\sqrt{2}$ax+by=1的距離$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即2a²+b²=2，
所以a²=1-$\frac{1}{2}$b²，（-$\sqrt{2}$≤b≤$\sqrt{2}$）
點P（a，b）與點（0，1）之間距離|OP|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}^{2}+（b-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}^{2}-2b+2}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（b-2）^{2}}$，
當b=$\sqrt{2}$時，|OP|取到最小值|OP|=$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了點的軌跡方程，點到直線的距離，點到點的距離，以及函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．