12.已知長為2的線段AB中點(diǎn)為C,當(dāng)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),C點(diǎn)的軌跡為曲線C1;
(1)求曲線C1的方程;
(2)直線$\sqrt{2}$ax+by=1與曲線C1相交于C、D兩點(diǎn)(a,b是實(shí)數(shù)),且△COD是直角三角形(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)(0,1)之間距離的最小值.

分析 (1)設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得到A點(diǎn)坐標(biāo)為(2x,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2y),由|AB|=2,即可求出曲線C1的方程,
(2)先求出,△COD是等腰直角三角形,|CD|=$\sqrt{2}$,再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,再由點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

解答 解:(1)設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則A點(diǎn)坐標(biāo)為(2x,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2y),由|AB|=2,得(2x-0)2+(0-2y)2=4,
化簡得x2+y2=1,
所以曲線C1的方程x2+y2=1,
(2)由曲線C1的方程x2+y2=1可知圓心(0,0),半徑為1,
所以|OC|=|OD|=1,△COD是等腰直角三角形,|CD|=$\sqrt{2}$,
圓心(0,0)到直線$\sqrt{2}$ax+by=1的距離$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
即2a2+b2=2,
所以a2=1-$\frac{1}{2}$b2,(-$\sqrt{2}$≤b≤$\sqrt{2}$)
點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)(0,1)之間距離|OP|=$\sqrt{{a}^{2}+(b-1)^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}^{2}+(b-1)^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}^{2}-2b+2}$=$\sqrt{\frac{1}{2}(b-2)^{2}}$,
當(dāng)b=$\sqrt{2}$時(shí),|OP|取到最小值|OP|=$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)的軌跡方程,點(diǎn)到直線的距離,點(diǎn)到點(diǎn)的距離,以及函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.

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