Question

8．已知F₁•F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中F₂與拋物線y²=12x的焦點(diǎn)重合，M是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且有cos∠MF₁F₂•cos∠MF₂F₁=$\frac{7}{23}$，求橢圓方程．

Answer 1

分析 先設(shè)出M的坐標(biāo)，代入橢圓和拋物線方程消去y，求得M點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)x=-3是y²=12x的準(zhǔn)線，即拋物線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F₁．設(shè)點(diǎn)P到拋物線y²=12x的準(zhǔn)線的距離為MN，則可知|MF₂|=|MN|，根據(jù)拋物線定義可知|MN|=x₁+3，進(jìn)而求得|MF₂|和|MF₁|，過(guò)點(diǎn)M作MM₁⊥x軸，垂足為M₁，分別在Rt△MM₁F₁中而后Rt△MM₁F₂中求得cos∠MF₁F₂，cos∠MF₂F₁，最后答案可得．

解答 解：拋物線y²=12x的焦點(diǎn)為（3，0），
即有c=3，a²-b²=9，
設(shè)M（x₁，y₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\\{{y}^{2}=12x}\end{array}\right.$得b²x²+12a²x-a²b²=0，
即為（a²-9）x²+12a²x-a²（a²-9）=0，
∴x₁=$\frac{a（a-3）}{a+3}$（負(fù)的舍去），
∵x=-3是y²=12x的準(zhǔn)線，
設(shè)點(diǎn)M到拋物線y²=12x的準(zhǔn)線的距離為MN，則|MF₂|=|MN|．
又|MN|=x₁+3=$\frac{{a}^{2}+9}{a+3}$，
∴|MF₂|=$\frac{{a}^{2}+9}{a+3}$，|MF₁|=2a-$\frac{{a}^{2}+9}{a+3}$=$\frac{{a}^{2}+6a-9}{a+3}$
過(guò)點(diǎn)M作MM₁⊥x軸，垂足為M₁，
在Rt△MM₁F₁中，cos∠MF₁F₂=$\frac{a（a-3）+3（a+3）}{{a}^{2}+6a-9}$=$\frac{{a}^{2}+9}{{a}^{2}+6a-9}$，
在Rt△MM₁F₂中，cos∠MF₂F₁=$\frac{6a+9-{a}^{2}}{{a}^{2}+9}$，
由cos∠MF₁F₂•cos∠MF₂F₁=$\frac{6a+9-{a}^{2}}{{a}^{2}+6a-9}$=$\frac{7}{23}$，
解得a=5（負(fù)的舍去），
可得b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=4，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓和拋物線的方程和性質(zhì)，考查了橢圓和拋物線的定義的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．