Question

12．（理科）如圖，A，B，C，D在y=$\frac{1}{4}$x²上，A、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)D（x₀，y₀）作拋物線切線，可證切線斜率為$\frac{1}{2}$x₀，BC∥切線，點(diǎn)D到AB，AC距離分別為d₁，d₂，d₁+d₂=$\sqrt{2}$|AD|
①試問：△ABC是銳角，鈍角還是直角三角形？請(qǐng)說明判斷的理由．
②若△ABC的面積為240，求A點(diǎn)的坐標(biāo)和BC直線的方程．

Answer 1

分析 ①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出直線BC的斜率，進(jìn)而可得直線AC、AB的斜率之間的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀；
②利用點(diǎn)A的坐標(biāo)表示弦長(zhǎng)|AC|、|AB|，進(jìn)而利用面積即可得出坐標(biāo)，及直線方程．

解答 解：①由y=$\frac{1}{4}$x²得，y′=$\frac{1}{2}$x．設(shè)D（x₀，$\frac{1}{4}$x₀²），
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知BC的斜率k_BC=$\frac{1}{2}$x₀，

由題意知A（-x₀，$\frac{1}{4}$x₀²），設(shè)C（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{4}$x₂²），
則k_BC=$\frac{\frac{1}{4}{（x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$x₀，
∴x₂=2x₀-x₁，所以B（2x₀-x₁，$\frac{1}{4}$（2x₀-x₁）²），
k_AC=$\frac{\frac{1}{4}{（x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{x}_{1}+{x}_{0}}$=$\frac{1}{4}$（x₁-x₀），k_AB=$\frac{\frac{1}{4}{（x}_{2}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{x}_{2}+{x}_{0}}$=$\frac{1}{4}$（x₂-x₀）=$\frac{1}{4}$（x₀-x₁），
所以k_AC=-k_AB，
∴∠DAC=∠DAB，
∴d₁=d₂，
又由d₁+d₂=$\sqrt{2}$|AD|得：sin∠DAC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DAC=∠DAB=45°，
故△ABC是直角三角形．
②由①知，不妨設(shè)C在AD上方，AB的方程為：y-$\frac{1}{4}$x₀²=-（x+x₀），
由$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}=-（x+{x}_{0}）\\{y=\frac{1}{4}x}^{2}\end{array}\right.$得到另一個(gè)交點(diǎn)B（x₀-4，$\frac{1}{4}$（x₀-4）²）．
由AC方程為：y-$\frac{1}{4}$x₀²=x+x₀，
由$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}=x+{x}_{0}\\{y=\frac{1}{4}x}^{2}\end{array}\right.$得到另一個(gè)交點(diǎn)C（x₀+4，$\frac{1}{4}$（x₀+4）²）．
∴|AB|=$\sqrt{2}$|（x₀-4）-（-x₀）|=$\sqrt{2}$|2x₀-4|，
|AC|=$\sqrt{2}$|（x₀+4）-（-x₀）|=$\sqrt{2}$|2x₀+4|，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•2|2x₀-4||2x₀+4|=240，
解得x₀=±8，
∴A（8，16）或（-8，16），
若x₀=8時(shí)，B（4，4），C（12，36），BC：y=4x-12，
若x₀=-8時(shí)，B（-12，36），C（-4，4），BC：y=-4x-12．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的斜率與傾斜角的關(guān)系、直線與拋物線相交問題、弦長(zhǎng)公式即可得出．