Question

20．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x．
（1）解不等式：f（x²-x-2）+1＞-log₂（x-1）；
（2）設函數(shù)g（x）=[$\frac{1}{2}$f（x）]²-f（$\sqrt{x}$）+5，求x∈[2，4]時，函數(shù)g（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的定義域為（0，+∞），結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，可將原不等式化為$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x-2＞0\\ x-1＞0\\ \frac{1}{2}（{x}^{2}-x-2）（x-1）＞1\end{array}\right.$，解得答案；
（2）令t=f（x），則t∈[-2，-1]，則f（$\sqrt{x}$）=$\frac{1}{2}$t，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的定義域為（0，+∞），
若f（x²-x-2）+1＞-log₂（x-1）
則log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-x-2）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$+log₂（x-1）＞0，
即log${\;}_{\frac{1}{2}}$[$\frac{1}{2}$（x²-x-2）（x-1）]＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x-2＞0\\ x-1＞0\\ \frac{1}{2}（{x}^{2}-x-2）（x-1）＞1\end{array}\right.$，
解得：x＞1+$\sqrt{2}$，
故原不等式的解集為（1+$\sqrt{2}$，+∞），
（2）∵x∈[2，4]，令t=f（x），則t∈[-2，-1]，則f（$\sqrt{x}$）=$\frac{1}{2}$t，
則y=g（x）=[$\frac{1}{2}$f（x）]²-f（$\sqrt{x}$）+5=（$\frac{1}{2}$t）²-$\frac{1}{2}$t+5=$\frac{1}{4}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}$t+5，
∵y=$\frac{1}{4}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}$t+5的圖象是開口朝上，且以直線t=1為對稱軸的拋物線，
故y=$\frac{1}{4}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}$t+5在t∈[-2，-1]時為減函數(shù)，
故當t=-2時，函數(shù)取最大值7，當t=-1時，取最小值$\frac{23}{4}$

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)不等式的解法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．