Question

4．已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，并滿足：f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1）和f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x）（g（x）≠0），且$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，當(dāng)數(shù)列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}的前n項(xiàng)和大于62時(shí)，n的最小值是（　　）

• A． 9
• B． 8
• C． 7
• D． 6

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1）變形可知a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$（a＞0，且a≠1），利用f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x）（g（x）≠0）可知a＞1，進(jìn)而利用$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$可知a=2，通過(guò)等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1），
∴a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$（a＞0，且a≠1），
又∵f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x）（g（x）≠0），
∴$（\frac{f（x）}{g（x）}）′$=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{[g（x）]^{2}}$＞0，
∴y=a^x為增函數(shù)，即a＞1，
∵$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，
∴a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$，解得：a=2或a=$\frac{1}{2}$（舍），
∴$\frac{f（x）}{g（x）}$=2^x，數(shù)列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
∵$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$＞62，
∴2ⁿ⁺¹＞64，即n＞5，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、等比數(shù)列求和等有關(guān)知識(shí)的掌握與應(yīng)用能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．