Question

9．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，且橢圓C₁的短軸長為4．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若橢圓C₁的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，拋物線C₂：y²=2px（p＞0）與橢圓C₁交于不同兩點(diǎn)P、Q．且$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$．求拋物線C₂的準(zhǔn)線方程；
（3）若直線l與橢圓C₁交于不同兩點(diǎn)M、N．且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0，求證：直線l恒與一個(gè)定圓相切，并求出定圓的方程．

Answer 1

分析 （1）利用離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，且橢圓C₁的短軸長為4，求出a，b，即可求橢圓C₁的方程；
（2）由題意，F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0）是拋物線的焦點(diǎn)，可得拋物線C₂的準(zhǔn)線方程；
（3）設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到兩交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的積，代入OM⊥ON得到r=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，即圓的半徑，則定圓方程可求．

解答 解：（1）∵離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，且橢圓C₁的短軸長為4，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，b=2，
∴a=3，
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由題意，F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0）是拋物線的焦點(diǎn)，∴拋物線C₂的準(zhǔn)線方程是x=-$\sqrt{5}$；
（3）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線y=kx+b代入橢圓方程得：（4+9k²）x²+18kbx+9b²-36=0．
x₁+x₂=-$\frac{18kb}{4+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$．
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∵y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，
∴（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=0
整理得，b²=$\frac{36}{13}$（k²+1）．
而原點(diǎn)到直線AB的距離d即圓的半徑r=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
由此得出直線與原點(diǎn)為圓心的圓相切，半徑為定長：$\frac{6\sqrt{13}}{13}$．
∴l(xiāng)與以O(shè)為圓心的定圓相切．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，涉及直線和圓錐曲線關(guān)系問題，常采用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解題，是壓軸題．