Question

9．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸所在的直線方程；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且f（C）=3，c=1，ab=2$\sqrt{3}$，且a＜b，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸所在的直線方程．
（Ⅱ）在△ABC中，由題意f（C）=3，∴求得sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，從而求得C=$\frac{π}{6}$，再利用余弦定理可得 cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a²+b²=7，結(jié)合條件求得a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的圖象對(duì)稱軸所在的直線方程為：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
（Ⅱ）在△ABC中，f（C）=2sin（2C+$\frac{π}{6}$）+1=3，∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1．
再根據(jù)c=1，ab=2$\sqrt{3}$ ①，且a＜b，可得C不是最大角，故2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{6}$．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴a²+b²=7  ②．
由①②求得 a=$\sqrt{3}$，b=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，余弦定理，屬于中檔題．