Question

12．為選拔選手參加“中國漢字聽寫大會”，某中學(xué)舉行了一次“漢字聽寫大賽”活動．為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．

（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；
（2）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取4名學(xué)生參加“中國漢字聽寫大會”，設(shè)隨機(jī)變量X表示所抽取的4名學(xué)生中得分在[80，90）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)概率的求解，樣本容量，運用直方圖得出y=$\frac{2}{50×10}$=0.004，
（2）確定人數(shù)X的可能取值為2，3，4，利用概率公式，結(jié)合組合公式分別求解P（X=2）=$\frac{{{C}_{5}^{2}C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{10}{35}$=$\frac{2}{7}$，P（X=3）=$\frac{{{C}_{5}^{3}C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{7}$，P（X=4）=$\frac{{{C}_{5}^{4}C}_{2}^{0}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{7}$．
列出分布列求解數(shù)學(xué)期望即可．

解答 解：（1）由題意可知，樣本容量n=$\frac{8}{0，016×10}$=50，y=$\frac{2}{50×10}$=0.004，
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030
（2）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，分?jǐn)?shù)在[90.100]內(nèi)的學(xué)生有2人，共7人．抽取的4名學(xué)生中得分在[80，90）的人數(shù)X的可能取值為2，3，4，則
P（X=2）=$\frac{{{C}_{5}^{2}C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{10}{35}$=$\frac{2}{7}$，P（X=3）=$\frac{{{C}_{5}^{3}C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{7}$，P（X=4）=$\frac{{{C}_{5}^{4}C}_{2}^{0}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{7}$．
所以X的分布列為

	2	3	4
P	$\frac{2}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{1}{7}$

所以EX=2×$\frac{2}{7}$$+3×\frac{4}{7}$$+4×\frac{1}{7}$=$\frac{20}{7}$

點評 本題考查了離散型的概率分布問題，數(shù)學(xué)期望，仔細(xì)閱讀題意，準(zhǔn)確計算，考慮學(xué)生解決實際問題的能力，屬于中檔題．